排列组合中的解题策略及教学方法

【摘 要】以计数问题为主要内容的排列与组合,是组合数学中最基本的知识,其应用广泛,思想方法新颖独特,是发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力的好素材。本文从排列组合的两个基本原理出发,对解决排列组合问题的常用策略及教学方法进行论述。

【关键词】排列组合 解题策略 教学方法

排列组合是高中数学的重要内容,新教材中概率与统计的增加更突出了排列组合的重要性。高考对排列组合的考察以两个基本原理——分类计数原理和分步计数原理为出发点,侧重检测解题思想和解题技巧,因而,对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心。

一、排列组合中的两个基本原理

加法原理:如果完成一件事有k类方式:第一类方式有n₁种方法,第二类方式有n₂种方法……第k类方式有n_k种方法。那么完成这件事共有N=n₁+n₂+…+n_k种不同方法。

乘法原理:如果完成一件事要经过k个步骤:完成第一个步骤有n₁种方法,完成第二个步骤有n₂种方法……完成第k个步骤有n_k种方法。在依次完成这k个步骤后,这件事才能完成,那么完成这件事共有N=n₁×n₂×…×n_k种不同方法。

二、解排列组合题的常用策略

排列、组合问题,通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上,它联系实际,生动有趣,但题型多样,解法灵活。实践证明,备考的有效方法是题型与解法归类,识别模式,熟练运用。在下文中归纳总结了求解排列组合的十个常用策略,旨在识别模式、熟练运用,最终达到顺利求解排列组合问题的目的。

1.特殊要求,优先考虑

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题,我们常常先从这些“特殊”入手,先满足特殊元素或特殊位置,再去安排其他元素或位置。

2.合理分类,准确分步

对于比较复杂的排列组合问题,因其元素多,取出情况分类复杂,要求准确分类,用分类计数原理求解;或事件过程复杂,需对过程各步作准确分析,合理分步,运用分步计数原理求解,避免重复或遗漏现象发生。

3.组排混合,先选后排

对于排列与组合的混合问题,一般采用先选出元素,然后再进行排列的方法求解,正所谓“排列组合在一起,先选后排是常理”。

4.相邻问题,捆绑求解

相邻问题是指某些元素有相邻的位置要求的排列组合问题,这类题的求解方法比较特殊:先把相邻要求的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通元素”进行全排列,这种求解思路方法叫做捆绑法。

5.不相邻问题插空法

对于某几个元素要求不相邻的排列组合问题我们称之为不相邻问题。这类题直接求解,分类方法比较多,比较复杂;常常可先将没有位置要求的几个元素进行全排列,然后将要求不相邻的元素插入上述元素之间的空隙及两端,这种求解排列组合问题的思路方法叫做插空法,它是求解不相邻的排列组合问题的常用方法。

6.正难则反,间接求解

对于某些排列组合问题的正面情况比较复杂,难以分清;而其反面情况比较简单时,可先考虑无限制条件排列,再减去其反面情况的总数。因此,很多排列组合问题都有直接法和间接法两条思路。

7.定序问题,除法消序

某些元素要求定序的排列组合问题,可先全排,再除以要求定序的元素数的全排数即可。

8.分排问题,直排处理

若n个元素要分m排排列,可把每排首尾相连排成一列,对于每排的特殊要求,只要分段考虑特殊元素,然后对其余元素作统一排列。

9.相同元素,隔板分析

对于较复杂的排列问题,可构造一个隔板模型、设计另一特殊的情景来解决问题。

10.非常问题,等价转化

对于非常规的排列组合问题等价地转化成另一个比较常见的排列组合模型,通过对新问题的研究达到解决原问题的目的。

以上介绍的排列组合题的几种常用策略,不是彼此孤立的,而是相互为用的,有时解决某一问题可用上述不同的多种策略处理,或综合运用几种策略来求解问题。解决排列组合问题的思路通常是:(1)先组合,后排列;(2)先分类,再分步;(3)先特殊(特殊元素、特殊位置),再一般,以简捷为原则。

三、排列组合教学问题的研究

学生在学习排列、组合这部分内容之前从未接触过类似的问题,所以排列、组合的入门很重要。在打好基础的同时采用各种手段从多方面入手、激发学生的学习动力,培养学习兴趣,提高他们对排列、组合的认识,巩固所学知识。

1.采用对比的方法来组织教学

排列、组合这部分内容比较抽象,而且从概念、公式到应用都极易混淆,所以在教学中可采用对比的方法来组织教学,更易于学生清楚区分排列与组合,下面举例说明。

(1)加法原理与乘法原理的对比。加法原理与乘法原理二者的区别在于当完成一件事可以使用几种互不关联的方法时应使用加法原理;当完成一件事的方法分成几个相互关联的步骤时应使用乘法原理。

(2)排列与组合的对比。排列与组合定义的共同点是“从n个不同的元素中,每次取出m个不同的元素(m≤n)”。但排列应“按一定的顺序排成一排”,而组合则“不管顺序如何并成一组”。是否与位置顺序有关,是区分排列与组合的关键。即元素相同排列顺序不同的几个结果,如果表示不同事件,则是排列问题。元素相同排列顺序不同的几个结果,如果表示同一事件,则是组合问题。例如,从10本不同的书中选2本送给甲、乙2人,有几种送法?若从中选2本送给某人,有几种送法?前者不同的2本书送给不同的2个人是与书的顺序有关的,因此是排列问题,则N=A²₁₀=10×9=90(种)。而后者不同的2本书送给某人是与书的顺序无关的,因此是组合问题,则:N=C²₁₀=45(种)。

(3)无重复排列与重复排列的对比。重复排列区别于无重复排列的关键在于其元素允许重复选用,即要明确元素个数每选一次并不减少。重复排列的公式为N=n_m,而无重复排列的公式为N=P^m_n。例如,由1、3、5、7、9五个数字组成多少个不同的三位数?对3个数字是否不同未作限制,所以是一个允许重复排列的问题,而且要求的位数是三位,能重复的数字有5个,则N=5×5×5=53=125(种)。而如果由1、3、5、7、9五个数字组成多少个没有重复数字的三位数?这里“没有重复数字”就说明是一个取不同元素的选排列问题,则N=A³₅=60(种)。

(4)重复排列中的底数与指数的对比。对于重复排列的题型,可以通过对题意的分析,判断哪些是不能重复使用的元素和哪些能重复使用的元素。例如,4名运动员夺取3个项目的冠军(不考虑2人并列第一),共有多少种不同的结果?由“不考虑2人并列第一”知3个项目的某一项冠军是不能同时由几名运动员夺取的,所以它们是不能重复的,只能是公式中的指数:m=3,而冠军必然要被4名运动员中的任一个来夺取,则4名运动员是可以重复的,应是公式中的底数n=4,则N=n_m=43=64(种)。

2.采用“方法扩散法”组织教学

发散思维是一种不依常规、多方探讨和解决问题的思维方法。如同从一点向四面八方作射线,以产生尽可能多的设想,并研究事物向各种不同方向发展的可能结果。在数学学习中,发散思维表现为依据定义、定理、公式和已知条件,朝着各种可能方向进行思维,不局限于既定模式,从不同角度探索问题。如当讲到排列与组合例题时,采用 “方法扩散法”要求学生采用尽可能多的排列、组合方法计算,还可以针对其中某些方法,讨论可以用来解决哪些类似问题。例如,5个人站成一排照相,若甲不能站在中间,共有多少种不同排法?让学生采用尽可能多的方法计算。

方法1:优先考虑甲,甲只能从4位置中选一个有4种,再来考虑其余4个人,根据分步乘法原理有4×A44=96(种)。

方法2:优先考虑中间位置,从其余4个人中选一人有4种,再来考虑其余4位置,根据分步乘法原理有4×A44=96(种)。

方法3:在所有排列中,按照甲在中间与甲不在中间分成2类,则A55-A44=96(种)。

3.应给学生留下悬念

悬念似“余音绕梁”,诱导学生课后“三思”,使学生在读书、听课之后,能更深入思考问题,有助于养成自己提出问题和解决问题的习惯。例如,求解了北京、广州、武汉这3个城市之间飞机票价种数只是飞机票种数一半,学生会粗略感到组合种数与排列种数之间的倍数关系,于是留下悬念:如果从n个不同元素中,任取m个不同元素时,组合种数与排列种数之间有什么关系?而这正是下节课要解决的。又如,高二(1)班某小组共有9人,(1)选出4人参加语文兴趣小组活动,可以有多少种不同选法?(2)选出5人参加数学兴趣小组活动,可以有多少种不同选法?解: (1)C49=9×8×7×64×3×2×1;(2)C59=9×8×7×6×55×4×3×2×1=126。

学生做完本题后留给学生思考:从9个不同的元素中选出4个C49和选出9-4=5(个)C59的组合数是相等的。是否巧合?而这正是我们后面要介绍的:从n个元素中取m个并构成一个组合后,剩下的(n-m)个元素相应地也构成了一个组合,每从n个元素中取出不同的m个元素构成不同的组合,剩下的(n-m)个元素同样也是不同的组合,并且这种关系是一一对应的,即Cmn=Cm-1n。

4.联系生活实际解决问题

数学是现实的抽象,许多数学问题,直接源于生活,要想真正解释清楚,还须回到实际生活中去。例如,4封信投入3个邮筒的投法,学生分不清答案是34种,还是43种。这就需要引导学生联系实际,根据乘法原理,重复排列的种数问题,应当分清什么是元素,什么是步骤,从实际生活看,1个邮筒可以容纳很多封信,而1封信不能同时投几个邮筒,因此,邮筒是可以重复选取的元素,1封信不投入邮筒,就意味着没把信寄出,即信件数只能当作不可缺的步骤。

例.某城市电话号码用8位数字组成,但0、1不能作为电话号码的首位数。问该市最多可以安装多少台不同号码的电话?

分析:电话号码是8位数,相当于8个位置,由于首位不能排0、1两个数,所以首位号码只能从2、3、4、5、6、7、8、9这8个数字中任取1个,有C8种取法,因为允许重复,所以,第2到第8个空位都可以分别从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选取,是7个位置10个元素的重复排列,所以,不同号码的电话共有N=C18C110C110C110C110C110C110C110=8×107(台)。

例.有5种面值一样、图案不同的纪念邮票,要在3封信上每封贴1张,不同的信允许贴相同图案的邮票,共有多少种不同的贴法?

分析:3封信,每封信都要在5种邮票中任选1张贴上,5种邮票中的任意一种都可被重复使用,它是可以挑剩的,因此它相当于元素;而每种邮票最多可贴到3封信上,每封1张,即最多可重复3次,信上是不可不贴邮票的,因此它相当于位置,所以,这个问题是5个元素3个位置的重复排列,共有不同的贴法N=53=125(种)。

参考文献:

[1]田园.略论排列组合中的相关数学思想[J].高中数理化(高二版),2007.10-12.

[2]田园.排列组合中的数学思想初探[J].语数外学习(高中版高二年级),2007.42-43.

[3]张志恒.排列组合问题的思维方式[J].甘肃教育,2007.47.

[4]刘华巧.排列组合中两个基本原理的探讨[J].科技信息(学术研究),2007.30-32.

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