数学分析教学过程的优化设计

摘要：本文针对数学分析课程的教学体系、教学方法和教学原则等结合教学实际进行了整体优化设计，在传授知识的同时，培养了学生分析问题和解决问题的能力；提出了八种教学方法，针对不同的教学内容采用多种教学方法的优化组合，使教学达到最佳效果；提出了八种教学原则，教学活动中正确和灵活运用教学原则，对提高教学质量和教学效率发挥着重要的保障性作用。

关键词：教学内容；教学体系；教学方法；教学原则；整体优化设计

在上世纪70年代，苏联教育科学院院士Ю.K巴班斯基提出了教学过程的最优化理论，该理论体现了整体性的观点、相互联系的观点和动态的观点。它把教师与学生、内容与方法以及教学活动看作是教学过程中三个有机联系的整体，教学效果的取得不再是某种要素作用的结果，而是多种要素通过系统结构的变化来实现。因此，要提高教学质量，必须对教学过程进行优化设计，本着这种思想，以现代教育理论为指导，我们对数学分析课程的教学内容、教学方法与教学形式进行了整体优化设计，形成了规范化的教学过程，创造了一种新型授课形式。

一、教学内容、教学体系的优化设计

数学分析具有严密的理论体系，拥有大量的运算公式、法则，对于这些公式和法则，学生只有通过自己的积极思维和智力加工，才能加深对所学知识的理解和运用，才能培养学生的分析问题和解决问题的能力。为了扩大选择优化组合教学法的空间，积极地组织教学过程，我们对教材上的一些内容根据实际情况少讲或略讲，而把精力放在应用上，以及对主要概念、定理、公式、法则的实质的理解上。具体内容包括：三类可积函数的证明，函数中非一致收敛性的证明，傅里叶级数收敛定理的证明，R2上的完备性定理的证明，隐函数存在定理的证明等。同时，针对调整的教学内容，我们编辑了《数学分析练习册》和《数学分析中的典型例题与习题》进行配合使用，其中选择了三种类型的题目：①基本练习题。加深对基本概念、基本理论、基本方法的理解和运用，提高学生抽象思维能力的培养与训练。②计算题。培养学生的解题技巧和独立解题能力。③证明题和综合题。培养学生抽象的逻辑思维能力和综合的分析问题能力。

在完成典型习题的计算、推理论证过程中，学生不仅回忆了所学的知识，而且对学过的知识进行了再消化，这是一个去粗取精、去伪存真的加工过程，从而抓住了问题的实质和解决问题的关键。在每个学期末都通过引导学生作具体总结性的典型习题，来引导学生整理归纳，加深理解所学的知识。这里所遵循的是“由薄到厚”的知识积累和“由厚到薄”的消化知识的辩证原理。为了帮助学生更深入地理解数学分析中的难点——几何图形、数值计算等，我们开发了《数学分析中的数学实验》课件，充实到正常教学计划中，课件内容与本学期教学内容密切相关，学生使用数学软件做复杂的函数图形、数值计算、数学模型求解，得到了探索解决实际问题的新思路、新方法、新途径。运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、数学建模能力构成了数学分析培养学生能力的主要内容，多种能力相互交织与结合便形成学生创造能力的基础，而这些能力的提高必将大大提高学生的独立学习能力。

二、数学分析课程教学方法的优化设计

对高校来讲，如果说教学过程是整个教育的核心，那么，教学方法则是教学过程的核心。因此，教学方法的设计无论对学生知识的获得，还是对其综合素质和能力的提高，无疑都起着十分关键的作用。有了好的教学内容体系，还必须运用好的教学方法才能获得优异的教学效果。一个好的教师必须对课程内容掌握深透，同时还要掌握高超的教学艺术，能自如地运用各种教学方法，积极地组织教学过程，使教学产生较强的吸引力，充分调动学生学习的积极性、主动性，实现教与学的辩证统一。教学方法有多种多样，但它们都有各自的优势和局限性，经过多年的教学实践，针对不同的教学内容，我们提出了与之相适应的的几种教学方法。

1.讲授式教学法。讲授法是一种最基本的教学方法，是以教师为主导，由教师以口述形式向学生传授各种知识的教学方法。在这种方法的运用中，教师要有系统、有组织地向学生进行知识传授，用言语传递特定内容，达成预设的学习目标，而学生则要尽可能完整无误地接受教师所表达的内容。例如数学分析中诸如实数完备性定理的证明。在讲授式教学方法下如何正确把握教与学的关系，赋予讲授法新的活力，使教师在讲授的过程中较好地完成教学目标，这是一个非常值得研究和探讨的问题。

2.互动式教学法。互动式教学法，是以现代教育心理学、教育行为学和教学方法论等理论为基础，在转变教师教学理念的前提下，运用一系列行之有效的教学手段，使学生在牢固掌握应学知识的同时，综合能力也得到全方位培养和提高的一个系统工程。实现“互动式教学”，一个重要的前提是师生平等。把学生放在平等的位置，有利于充分调动他们的主观能动性，有利于发挥他们作为教育主体的积极作用，从人格培养的角度来讲，也能够促进学生形成不依赖、不盲从、一切以客观真理为标准、积极自信的健全人格。互动式教学法适用于基本概念的讨论，基本运算法则的简单应用等。采取互动式教学法，应注重理論分析思想的启发与引导，加强逻辑思维能力的培养与训练，改变传统的教学思维模式——通过精心设计的教学内容和教学方法，做到师生之间的情感互动、情绪互动、思维互动，从而达到更好的教学效果。

3.启发-引导式教学法。讲解知识点时，提出问题，介绍解决问题的方法，归纳总结出一般规律或概念，例如极限概念、各种积分概念的引入。这种方法能培养学生的科学思维方式，培养学生敢于大胆质疑，激发学生学习的积极性和创新精神。教师能够充分尊重学生在教育教学过程中的主体地位和作用，将学习的主动权交给学生，让学生自己成为知识与能力的主动建构者。

4.归纳-总结式教学法。归纳-总结式教学法主要用来巩固理论知识（具有多侧面的内容及需要加深理解与系统归纳的内容），训练学生的解题思路，强化习题练习，形成解题的技能与技巧，做到一题多解，举一反三，培养学生的逻辑思维能力，巩固深化基础知识和基本方法，引导学生攻克学习难关和培养灵活运用的能力。

5.讨论-比较式教学法。教师提出问题，学生对同一问题用多种不同观点进行观察、比较、分析、综合等交互活动，充分发挥学生的主动性，激发学习兴趣。这样做有利于学生理解、深化、拓宽所学内容，可避免教师“满堂灌”，以教师为中心、学生被动学习的局面，使学生成为课堂的主体，并充分发挥教师的主导作用。讨论-比较式教学，可用于判别习题类型，选用不同解法的典型题练习，训练学生由“学”到“教”的思维模式，培养学生创造性学习及独立钻研能力，培养学生讲课及语言表达能力。

6.直观教学法。在数学分析实验课上通过数学软件编程画出图形，进行数值计算，使解决问题的方式更直观。

7.读书指导法。开展读书指导式教学法，重点针对学生不同的学习能力，因材施教，指导他们预习、复习以及阅读课外参考文献资料，查阅期刊杂志，培养学生的创造性学习的能力和创新精神。

8.分层教学法。根据学生的入学成绩和在校学生的课程成绩，划分为三个层次，针对不同层次的学生提出不同的要求——基本要求、较高要求、高要求。例如：关于确界概念和确界原理，不强行要求所有的学生一步到位，对多数学生只布置证明具体集合的确界的习题，对较好学生布置证明抽象集合的确界的习题，对好学生布置证明综合类抽象集合的确界的习题。数列极限性质的分析证明，对多数学生可重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题。对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限。有关R2的完备性定理的证明只对好学生提出要求。在教学中，经常针对不同的教学内容采取多种教学方法的优化组合，使教学达到最佳效果。

三、数学分析课程教学原则的优化设计

教学原则是根据教育教学目的、反映教学规律而制定的指导教学工作的基本要求。它既指教师的教，也指学生的学，应贯彻于教学过程的各个方面和始终。它反映了人们对教学活动本质性特点和内在规律性的认识，是指导教学工作有效进行的指导性原则和行为准则。教学原则在教学活动中的正确和灵活运用，对提高教学质量和教学效率发挥着重要的保障性作用。

1.启发性原则。利用提示、设疑、解惑等形式最大限度地调动学生学习的积极性和自觉性，激发他们的创造性思维，逐步减少教师对学生学习的控制，从而使学生在融会贯通地掌握知识的同时，充分发展自己的创造性能力与创造性人格。

2.系统性原则。在教学中，使教学内容由易到难，由简到繁，逐步深化提高，使学生系统地掌握新知识，形成学生合理的认知结构。

3.教学相长原则。即教与学相辅相成，师生之间、学生之间在教学过程中形成动态的信息互动，通过这种信息交流，实现师生互动，相互沟通，相互影响，相互补充，及时改进教学，从而达到共识、共享、共进，有利于因材施教。

4.理论联系实际原则。教学中注意做到理论与实际的结合和统一，用理论分析实际，用实际验证理论，使学生从理论和实际的结合中理解、掌握知识，并在这个结合的过程中学会运用知识。这就要求教师在讲授实际问题时首先让学生明确问题的提法；其次带着问题去学习相应的理论；最后用所学理论去解决实际问题。

5.师生协同原则。教师在充分发挥自身作用的同时，要充分调动学生的积极性和主动性，使教学过程真正处于师生协同活动、相互促进的状态中，其实质就是要处理好教师与学生、教与学的关系。为此，教师可将讲义提纲提前发给学生，这有利于提高学生学习的主动性；教学中鼓励学生提出不同的解题思路，开阔视野；在讲授定义、定理时可以适当地加入一些数學史的内容，使学生了解一些不同阶段的杰出数学家的贡献；多举一些理论联系实际的例子。

6.遵循思维规律性原则。学习数学，离不开数学思维，可以说数学的本质特性就是思维。数学思维能力的作用使我们经历了数学概念的引入、定理的发现、规律的探求等诸多过程。因此，在教学中要处理好分析与直观、演绎与归纳、联想与类比的关系。鼓励学生定期进行章节复习，去发现知识的内在联系，对知识进行归类、延伸和扩展，从整体上掌握知识的脉络，做到消化理解，融会贯通。

7.遵循数学记忆规律性原则。数学记忆就是要用数学的方法去记忆数学的知识。数学知识的锁链是环环相扣的，没有对旧知识的记忆，就谈不上对新知识的理解，没有对已学过的若干定义、定理、方法的理解和记忆，对它们的运用也将化为泡影。因此，在教学中采用多种教学法的优化组合，选用典型例题与习题有助于培养学生的记忆能力。

8.培养学习的独立性原则。学习的独立性是指学生完成智力活动的内容、途径与方法的自主程度。缺乏独立性的学生只能经过别人的提示、暗示或参考某些例题来思考问题，一旦遇到新的问题，则将百思不得其解。因此，在教学中，我们经常选用有一定难度的典型证明题、计算题让学生做，作业要独立完成，不要抄作业，这对于训练学生的创造性思维很有益处。

四、结语

数学分析课程作为现代数学的基石，在我校数学类专业的众多课程中无疑占据着非常重要的地位。学好这门课程的关键是应充分调动教师和学生的积极性，尤其是学生的积极性。学生探求新知识、发现和解决他们未曾解决过的问题，对他们而言就是一种“创新”，尽管这种“创新”与真正意义上的发明创造相比社会价值不大，其思维过程也比较简单，但其中所迸发出来的点点火花都是他们今后创新的希望。而学生创新意识和创新能力的培养，既是教学的深层次目的，又是一个漫长的过程。因此，教师在教学中要将所讲授的知识点当作一个研究课题，不断进行深入的研究和实践。

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