篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16
1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与界点：
(1) 设D?{(x,y)|xy?0}. (2) 设D?{(x,y)|y?x2}. (3) 设D?{(x,y)|y?sin
1x
,x?0}.
(4) 设D?{(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}.
2. 证明：当且仅当存在各点互不相同的点列{Pn}?E,Pn?P0时，P0是E的聚点. 3. f(x,y)?x2?y2?xytg
xy
,求f(tx,ty).
4．设F(x,y)?lnxlny,证明:若u?0,v?0,则
5. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:
(1)
f(x,y)?
6.试求下列极限
:
(1)
(x,y)?(0,0)
(2) f(x,y)?ln(y?x).
lim
xy
2
222
x?y
;(2)
1x?y
2
2
(x,y)?(0,0lim
22sin(x?y)x?y
2
22
2
(3)
(x,y)?(0,0)
lim(x?y)sin; (4)
(x,y)?(0,0)
lim.
7. 讨论下列函数在点（0，0）的重极限与累次极限：
(1) f(x,y)?
y
2
2
2
x?y
(2) f(x,y)?(x?y)sin
1x
sin
1y
(3) f(x,y)?
xy
2
2
22
2
xy?(x?y)x?y
23
3
(4) f(x,y)?
x?y
1x
23
(5) f(x,y)?ysin
xy
32
(6) f(x,y)?
x?y
(7) f(x,y)?8.证明:若(1)
e?e
xy
sinxy
(x,y)?(a,b)
limf(x,y)?A;(2)y在b的某邻域内,存在
limf(x,y)??(y),
x?a
则limlimf(x,y)?A.
y?bx?a
9. 试用???定义证明:
(x,y)?(0,0)
lim
xyx?y
2
2
2
?0.
10. 证明：闭域必是闭集，举例说明反之不真。
?sinxy?,y?0
11.讨论以下函数的连续性: (1) f(x,y)??y.
??0, y?0
22
x?y?0
(2) f(x,y)?
x2?y2?0?
(3) f(x,y)?
?
0,x为无理数
.
y,x为有理数
x?22
,x?y?0?22p
,(p?0), 12．讨论以下函数的连续性:f(x,y)??(x?y)
?0,x2?y2?0?
13. 设f(x,y)定义在闭矩形域S?[a,b]?[c,d].若f对y在[c,d]上处处连续,对x在[a,b](且关于y)为一致连续,证明f在S上处处连续.
14．证明：若D?R2是有界闭域，f为D上的连续函数，且f不是常数函数，则f(D)不仅有界（定理16.8）,而且是闭区间。
15. 设f(x,y)在区域G?R上对x连续,对y满足利普希茨条件:
|f(x,y?)?f(x,y??)|?L|y??y??|,
2
其中(x,y?),(x,y??)?G,L为常数.试证f在G上处处连续.
16. 若一元函数?(x)在[a,b]上连续,令f(x,y)??(x),(x,y)?D?[a,b]?(??,??),试论f在D上是否连续?是否一致连续?
篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案1
1.设a为有理数,x为无理数.证明:
(1) a?x是无理数; (2)当a?0时, ax是无理数.
2. 设x?0,证明:x?1
x?2,并说明其中等式何时成立.
3.求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
(1) S?{x|x2?2};
(2) S?{x|x?n!,n?N}.
(3) S?{x|x为(0,1)上的无理数}.
(4) S?{x|1?1
2n,n?N?}.
4．设A,B皆为非空数集，定义数集
A?B?{z|z?x?y,x?A,y?B}.
证明：（1）sup(A?B)?supA?supB; （2）inf(A?B)?inf(A)?inf(B).
1
x5．用区间表示下列不等式：x??6.
6．设S为非空数集. 证明:infS???S???minS.
7. 设函数f(x)??2?x,x?0,求: x2,x?0
(1) f(?3),f(0),f(1);(2) f(?x)?f(0),f(??x)?f(0)(?x?0).
8. 试问下列函数由哪些基本初等函数复合而成:
(1) y?(arcsinx), (2)
y?lg(1?
9. 在什么条件下,函数y?
10．证明函数f(x)?1
x222ax?bcx?d的反函数就是它本身. 为(0,1)上的无界函数.
11. 设函数f定义在[?a,a]上.证明:(3) f可表示为某个奇函数与偶函数之和.
12．证明：（1） limn!
nnn???0.
?0. （2）limsinn???n
(3) limn
ann???0(a?1).
（4）．若liman?a,则liman?k?a. n??n??
14.证明：若liman?a,则lim|an|?|a|,何时逆命题成立。
n??n??
15．根据1-2写出定义在[0，1]上的分段函数f1(x)和f2(x)的解析表达式：
16．设函数
?2?x,x?0f(x)??x, ?2,x?0
求：(1)f(?3),f(0),f(1);(2)f(?x)?f(0),f(??x)?f(0)(?x?0).
17．证明f(x)?1
x2为(0,1)上的无界函数。
18．证明下列函数在指定区间上的单调性：y?3x?1在(??,??)上严格递增。
19．设函数定义在[?a,a]上，证明：
（1）F(x)?f(x)?f(?x),x?[?a,a]为偶函数；
（2）G(x)?f(x)?f(?x),x?[?a,a]为奇函数；
（3）f可表为某个偶函数与奇函数之和。
20. 利用函数y?[x]求解:
(1) 某系各班级推选学生代表,每5人条额满三人可增选1名.写出可推选代表人数y与
班级学生人数x之间的函数关系(假设每班学生学生数为30~50人);
(2) 正数x四舍五入后得整数y,写出x与y之间的函数关系.
篇三：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案9
1通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{?i},把定积分看作是对应积分的和的极限,来计算下列定积分:
(1) ?
110exdx, (2) ?badx(0?a?b). 2x2. 计算下列定积分 ex?e?x
dx; (1)?02
?
(2)
(3)?30tan2xdx;
dx;
?09
(4)?0 4
(5)e
1
e1(lnx)2dx. x
3.利用定积分求极限: (1)lim1(1?23???n3); 4n??n
(2)lim?n??
（3）lim?111????. 222?(n?n)??(n?1)(n?2)1?2?n?1(sin?sin???sin?). n??nnnn
4．证明：若f(x)在[a,b]上可积，[?,?]?[a,b],则f(x)在[?,?]上可积。
5．设f(x),g(x)均为在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处f(x)?g(x),则当f(x)在[a,b]上可积时,g(x)在[a,b]上可积,且?b
af(x)dx??g(x)dx. a
x??x??x?,x????b6.证明:若f(x)有区间?上有界,则supf(x)?inff(x)?sup|f(x?)?f(x??)|.
nb7.证明:若f(x),g(x)都在[a,b]上可积,则lim||T||?0?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx.
i?1a
8.证明下列不等式: 1?
x2?10exdx?e. 2证:函数f(x)?e在[0,1]上连续,由积分第一中值定理:
增,故有e?e0?10exdx?e?,其中??[0,1].而函数f(x)?ex在[0,1]严格222?2?e,即1??edx?e. 011x2
1sinx?x?dx?.(题有误,应更正为1??dx?) 9．证明:1??00sinxx221
10
．证明：??4e
e?6. 11．设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)不怛为零,证明
12.设f(x)与g(x)都在[a,b]上可积,证明: ?ba(f(x))2dx?0.
M(x)?max{f(x),g(x)},m(x)?min{f(x),g(x)} x?[a,b]x?[a,b]
都在[a,b]上可积.
13.证明:若f(x),g(x)都在[a,b]上可积,则lim
||T||?0?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx. i?1anb
14.设f(t)为连续函数,u(x),v(x)均为可导函数,且可实行复合f?u与f?v,证明:
dv(x)f(t)dt?f(v(x))v?(x)?f(u(x))u?(x). ?u(x)dx
15求定积分：
(1)
(2)?a0x(a?0). ?11
(x2?x?1)3
20dx.
(3) ?0
a
01.
. (4) ?
?x?
(5)
20cos?d?. sin??cos?
a?pp16. 设f为(??,??)上以p为周期的连续函数.证明对任何实数a,恒有
17.设f为连续函数.证明:
???af(x)dx??f(x)dx. 0
(1)
(2) ?20f(sinx)dx??2f(cosx)dx. 0??
0xf(sinx)dx??2??
0f(sinx)dx.
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