摘 要：命题逻辑是离散数学的入门章节，也是计算机理论的基础知识。本文首先阐述了命题的含义，对命题定义中易错的部分给予了解析;对量化命题的否定进行了深入剖析;最后对合取词和析取词所对应的不同类型命题进行了分类讲解。
关键词：命题逻辑;离散数学;量化命题;合取词;析取词
一、引言
离散数学是计算机专业课程中的核心基础课程，是计算机后续课程的先导和前驱课程，是计算机专业学生学习计算机基础理论的第一门课程。与传统的数学分析、高等数学不同，离散数学是研究离散量之间关系的一门学科。在离散数学的教材中，命题逻辑是开篇部分。命题逻辑概念较多，知识点较细，很多初学者容易产生畏难情绪，不利于后续离散数学课程的教学。本文梳理了命题逻辑中的几个重要知识点，对知识点的内涵和外延进行了详细的分析，希望对初学者有一定帮助。
二、命题的含义与理解
在许多教科书上，命题的定义是：具有唯一确定真值的陈述句。这里有几层含义：首先命题必须是一个陈述句，一切命令句、疑问句、祈使句等都不是命题。但是陈述句只是命题成立的必要条件而不是充分必要条件，一个陈述句要称为命题还需要该陈述句具有唯一确定的真值，可以判断命题的真假。命题可以是真的，也可以是假的，但是不是同时为真又为假。
另一方面，一个句子是否能分辨真假和我们是否知道真假是两回事，只要陈述句本身有真假值，都叫命题。例如一个陈述句：宇宙中存在外星人。该陈述句是一个命题，因为宇宙中外星人的存在只有两种情况：要么存在，要么不存在，因此该陈述句有确定的真值，只是由于现在科学技术的限制，我们还无法知道真值是真还是假，但是该陈述句仍然是一个命题。
判断是否为命题的另一种情况是要看有无前提条件。例如一个典型的例题就是1+101=110，该表达式无法判断真假，因为在二进制数的运算中为真，在十进制的运算中为假，因此单纯看这个表达式是无法判断真假的，因此该表达式不能称为命题。但是如果加上前提条件，就可以称为命题。另外“悖论”的句子也不称作命题。
三、量化命题的否定
在五个命题连接词中，否定词¬是唯一一个一元命题连接词，也是比较简单的命题连接词，含义就是命题的否定。例如命题变元P表示：南京是一座城市，那么¬P即为：南京不是一座城市。否定连接词的真值表也很简单，这里唯一要注意的是针对量化命题的否定。例如：命题变元P表示：每一个学生都考及格了。那么¬P含义不能是每一个学生都没考及格。因为按照上面的说法还有一种可能就是有些学生考及格了，有些学生没考及格。也就是说在P在¬P之间还有一种可能的说法，这和命题的定义是不相符合的。P和¬P应当是互补的，非此即彼的。因此这里¬P应当表示的含义是：有些学生没有考及格。从上面的例子可以看出：对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量化词也要加以否定。
四、合取词和析取词
合取词∧的含义很简单，只有所有的命题真值都是T时，合取后的结果才为T。关于合取词有三个方面需要注意：一是在P∧Q中，P和Q是互为独立的，地位是平等的，P和Q的位置可以交换而不会影响P∧Q的结果。二是合取词连接的是命题而不是主语，例如下面的句子：张三和李四是亲兄弟，这里和连接的是两个主语：张三和李四，因此该句子不是复合命题，只是原子命题。三是合取词和日常句子中的“和”、“且”等词的含义类似，但又不完全相同，在日常生活中，合取词应当用在两个有关系的命题之间。例如命题P：张三的成绩很好。命题Q：李四的成绩很好，则P∧Q表示：张三和李四的成绩都很好。二在数理逻辑中，合取词可以用在两个毫不相干的命题之间。比如命题P：今天天气很好。命题Q：5+10=15。则P∧Q表示：今天天气很好和5+10=15。看似不相关的两个命题在逻辑学中是可以进行合取的。
析取词∨对应着日常生活中的“或”，但是日常中的“或”具有二义性，分为“可兼或”和“不可兼或”。这里不可兼或我们也称为“异或”或者“排斥或”。在命题逻辑中，析取词∨特指可兼或，而不可兼或的符号是▽，也就是在析取词∨上面加一横。可兼或和不可兼或的唯一区别就是当运算符前后两个命题都为T时，用析取词∨得到的结果也是T，而用异或▽得到的结果是F。从另外一个角度说，当用异或▽连接的两个命题真值相同时（同为T或F），其结果为F，当这两个命题真值相反时，结果为T。简单可以总结为：同假异真。在P∨Q和P▽Q中，P和Q的地位相等，交换不影响结果。另外，异或▽也可以由其他连接词表示。
五、总结
命题逻辑是数理逻辑的基础，也是离散数学的基础，进一步说，是计算机科学理论的基础，是计算机专业学生学习计算机理论的入门部分。该部分较为抽象，需要学生有一定的逻辑思维能力。学好命题逻辑首先要对命题和联结词的内涵了然于心。本文在教科书讲解的基础上对命题及其联结词的内涵和易错部分进行了详细阐述，以利于读者对它们进行深入理解。
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