摘 要:人工神经网络是解决复杂工程问题的有效途径,将其应用于有限单元法中是近年来研究的新方向。
关键词:神经网络 有限元法 工程应用
中图分类号:TP183文献标识码:A文章编号:1007-9416(2010)12-0062-01
1 引言
有限单元法是在计算机的广泛应用和数值分析方法发展的基础上发展起来的。开始它被应用于结构分析中,随后被应用于连续介质计算问题的各个领域。由于它具有对边界适应性好,计算精度高,能够使计算法则和程序标准化等优点,成为工程数值计算的首选工具。传统有限元法采用串行的计算方法,对于复杂的非线性计算问题,其计算成本很高。因此,人们试图用并行计算的方法来代替传统意义的串行计算。而神经网络作为一个非线性大规模动力系统,有着高度的并行计算能力,近年来已经逐渐在工程结构领域中得到广泛应用。
2 人工神经网络结构
人工神经网络是基于人类大脑的结构和功能而建立起来的新科学,它的许多特点和人类的智能类似。正是由于这些特点,使得人工神经网络不同于一般计算机和人工智能。它是由大量处理单元(神经元、处理元件、电子元件、光电元件等)广泛互联而成的网络,其主要部件是神经元,它是神经网络的基本处理单元,它一般是多输入/单输出的非线性器件,其结构模型如图1所示。其中ui为神经元的内部状态,为阀值,为输入信号,wij表示从ui到uj连接的权值,上述模型可描述为:
(1); (2)
根据连接方式的不同,神经网络可以分成不含反馈的前向网络(见图2);从输出层到输入层有反馈的前行网络;层内有相互结合的前向网络;相互结合型网络。在无反馈的前向网络中,信号一旦通过某个神经元,过程就结束了,而在相互结合网络中,从某初态开始,经过若干次的变化,才会达到某种平衡状态。根据网络的结构和神经元的特性,还有可能存在周期振荡和其它如混沌等平衡状态。但不论从网络的计算和学习机制看,还是从他们的适用范围看,都有着很大的区别。这里讨论的多层前馈神经网络,其拓扑结构如图2所示。
3 神经网络在有限元分析中的应用
用高效的计算方法求解高度复杂与非线性的问题是急待研究的问题。人工神经网络法使用了并行处理的办法去求解这些问题使得计算的速度更快、计算的结果更加的精确。对于约束优化的近似求解问题,可以将优化目标作为神经网络的能量函数,在神经网络运行过程中,网络的能量函数趋于极小值,从而达到优化计算的目的。实际上,众多优化问题都可以归结为求解一连续可微函数的极值点。这里以弹性力学的有限元求解问题为例,讨论在线弹性的范围内神经网络与有限元之间的数学关系。弹性力学的本质是一个系统优化的问题,因此有:
(3)
上式中,K为结构的总刚度矩阵,f为等效节点荷载列阵。a为节点位移列阵,A为约束矩阵。
这一弹性力学的优化问题可以等价于式(4):
(4)
对于没有刚体位移的系统,引入边界条件,半正定矩阵K降阶后可化为正定矩阵K＇,则式(4)化为:
(5)
由此可以看到,将有约束的问题经过适当处理可以使问题的优化解具有全局性。将优化问题的目标函数对应于神经网络的能量函数,表述为:
(6)
将其改写成Lyapunov函数形式:
(7)
式中,,。由此改进得到的神经网络模型如图3所示。
图3所示神经网络模型其动力方程可写为:
(8)
由稳定性分析可知:
(9)
当时,有,能量函数达到极小值,所以该神经网络的稳定平衡点为优化问题的极值点。神经网络t0=0时,待求方程:的解为:
(10)
并且当t→+∞时,a(t)将趋近于一个与初值无关的解向量,这个平衡点即为能量极小点。再由平衡点的唯一性可知,这个能量极小点即为能量最小点。
4 结语
神经网络是一种复杂的非线性动力系统,被应用于联想记忆的模式分类、约束优化问题的近似求解以及非线性映射等诸多领域。将人工神经网络的理论用于有限元数值分析的过程中,可以提高有限元优化运算的速度,以及计算的精度。开展这一领域的研究工作必将有力地推动数值计算理论的发展以及在复杂工程问题中的应用。
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