摘要：在积分中值定理中，只确定了中间点的存在性，却没给出中间点在区间内的位置。通过讨论当区间长度趋近于零时，定理所确定的中间点在区间上的渐进性，得到一些相应的结论，并对其中一些结论进行证明。
关键词：中值定理；中间值；渐进性
中图分类号：G4文献标识码：A文章编号：16723198（2015）26023402
积分第一中值定理：若函数f（x）在闭区间a，b上连续，则至少存在一点ξ∈a，b，使得
∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）。
积分第二中值定理：如果函数f（x），g（x）在闭区间a，b上连续，且g（x）在a，b上不变号，则至少存在一点ξ∈a，b，使得
∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx。
在上述积分中值定理中，一般来说，不能断定中间值ξ就是区间a，b的中点，但当f′（a）存在且f′（a）≠0时，则有如下结果：
定理1：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0。若
∫xaf（t）dt=f（ξ）（x-a），ξ∈（a，x）
则有limx→aξ-ax-a=12。
证明：考虑函数h（x）=∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2，
利用积分第一中值定理得
limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2
=limx→af（ξ）（x-a）-f（a）（x-a）（x-a）2
=limx→af（ξ）-f（a）x-a=limx→af（ξ）-f（a）ξ-aξ-ax-a
=f′（a）limx→aξ-ax-a，
另一方面，应用L’Hospital法则又有
limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）dt-f（a）（x-a）（x-a）2
=limx→af（x）-f（a）2（x-a）=12f′（a）
比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。
定理2：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a可导且f′（a）≠0，g（t）∈Ca，x且不变号，g（a）≠0。若
∫xaf（t）g（t）dt=f（ξ）∫xag（t）dt，ξ∈（a，x）
则有
limx→aξ-ax-a=12
证明：考虑函数
h（x）=∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2，
利用积分第二中值定理得
limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2
=limx→af（ξ）-f（a）∫xag（t）dt
=limx→af（ξ）-f（a）ξ-ax-a∫xag（t）dtξ-ax-a=f′（a）g（a）limx→aξ-ax-a
另一方面，应用柯西微分中值定理又有
limx→ah（x）=limx→a∫xaf（t）g（t）dt-f（a）∫xag（t）dt（∫xag（t）dt）2
=limx→af（x）g（x）-f（a）g（x）2g（x）∫xag（t）dt
=limx→af（x）-f（a）x-ax-a2∫xag（t）dt=f′（a）2g（a）
比较后即得到limx→aξ-ax-a=12。
上述定理还可以进一步推广得
定理3：设函数f（t）∈Ca，x，在x=a二阶可导且f′（a）=0，f″（a）≠0。若
∫xaf（t）dt=f（ξ）（x-a），ξ∈（a，x）
则有limx→aξ-ax-a=13。
类似的结果也可以用在微分中值定理中间值的情况。
参考文献
[1]陈纪修等.数学分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.5
[3]林渠源.数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社，2003.
[4]裘兆泰等.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004.
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