罗尔定理的推广

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【摘 要】罗尔定理是数学分析中重要的基本定理之一。本文将罗尔定理的应用范围从有限区间推广到无限区间，继而将柯西中值定理的应用范围推广到无限区间，最后给出x→+∞时的洛必达法则。

【关键词】罗尔定理；柯西中值定理；洛必达法则

Promotion of Rolle Theorem

XIE Chen-long YANG Chuan-sheng

（School of Mathematics， Zhejiang Ocean University， Zhoushan Zhejiang 316022， China）

【Abstract】Rolle theorem is one of important basic theorems in mathematical analysis. In the paper it generalizes the application range of Rolle theorem from the finite to the infinite. Then using the generalization of Rolle theorem， we generalize the application range of cauchy theorem to the infinite. Finally we get the L’Hospital rules in the cases x→+∞.

【Key words】Rolle theorem；Cauchy theorem；L’Hospital rules

0 前言

罗尔定理（Rolle theorem）是数学分析[1]中的重要内容，它的应用非常广泛。而柯西中值定理（Cauchy theorem）和洛必达法则（L’Hospital rules）是罗尔定理最重要的两个应用，其在求函数极限中发挥着重要作用。但是在数学分析中，只给出了在有限区间上的罗尔定理、柯西中值定理，以及x→+∞时的洛必达法则，并没有讨论无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x→+∞时洛必达法则。所以本文讨论了无限区间上的罗尔定理、柯西中值定理以及x→+∞时洛必达法则。考虑到数学分析中洛必达法则是由柯西中值定理推广得到，而柯西中值定理是由罗尔定理推广得到，所以本文先将罗尔定理的应用范围从有限区间推广到无限区间，继而将柯西中值定理的应用范围推广到无限区间，最后给出x→+∞时的洛必达法则。

1 主要结果

以下先给出三个引理，其给出了函数f（x）在无穷区间上能取到最值的条件：

引理1. f（x）在[a，+∞）上连续，■f（x）存在，则f（x）在[a，+∞）有界。

证：记■f（x）=c，则对ε=1，■N>0，当x>N时，有：

f（x）-c<ε=1，

即：

c-1

由f（x）在[a，N]上连续知f（x）在[a，N]有最大值和最小值，分别记为B1，B2。

即在[a，N]上，有：

B1≤f（x）≤B2，

取A=min﹛c-1，B2﹜，B=max﹛c+1，B1﹜，则有：

A≤f（x）≤B，x∈[a，+∞]

所以f（x）在[a，+∞）上有界。

引理2. f（x）在[a，+∞）上连续，■f（x）=f（a），则f（x）在[a，+∞）有最大值和最小值。

证：由引理1知f（x）在[a，+∞）上有界，所以由确界原理知f（x）在[a，+∞）上有上下确界，分别记为A1，A2，下证存在x1，x2∈[a，+∞），使得f（x1）=A1，f（x2）=A2

对于上确界A1，存在子列﹛xn﹜，使得■f（xn）=A1，以下分两种情况讨论：

（1）若■xn=x0，由连续性知：

f（x0）=■f（xn）=A1

（2）若■xn=+∞，由归结原则知：

f（a）=■f（x）=■f（xn）=A1

综上，存在x1∈[a，+∞]，使得f（x1）=A1，所以f（x）在[a，+∞）有最大值

同理可得f（x）在[a，+∞]有最小值。

同样的，我们可以得到：

引理3. f（x）在（-∞，+∞）上连续，■f（x）存在，则f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值。

下面介绍本文的主要结论，它可由上述引理直接推得：

定理1（推广的罗尔定理）。若函数f满足如下条件：

（1）f在[a，+∞）上连续

（2）f在[a，+∞）上可导

（3）■f（x）=f（a），

则在[a，+∞）上至少存在一点ξ，使得：

f"■（ξ）=0

证：由引理2，f（x）在[a，+∞）有最大最小值，分别记为M，m，现分两种情况讨论：

（1）若m=M，则f（x）在[a，+∞）必为常数，从而结论成立

（2）若m

f"■（ξ）=0

注：由引理3我们可以将罗尔定理推广到（-∞，+∞）上。

定理2（推广的柯西中值定理）。若函数f和g满足

（1）在[a，+∞）上都连续

（2）在（-∞，+∞）上都可导

（3）■f（x）存在，■g（x）存在

（4）f"■（x）和g"■（x）不同时为零

（5）g（a）≠■g（x），

则存在ξ∈[a，+∞），使得：

■=■

证：作辅助函数

F（x）=f（x）-f（a）-■（g（x）-g（a））

易知F在[a，+∞）上满足定理1的条件，故存在ξ∈[a，+∞），使得：

F"■（ξ）=f"■（ξ）-■g"■（ξ）=0（1）

若g"■（ξ）=0，则由上式知f"■（ξ）=0，这与条件（4）矛盾，所以g"■（ξ）≠0

所以可以把式（1）写成：

■=■

下面研究两种类型下的洛必达法则的推广。

（i）■型不定式极限

定理3. 若函数f和g满足

（1）■f（x）=■g（x）=0，

（2）存在N>0，使得当x>N时，f（x），g（x）都可导，且g"（x）≠0，

（3）■■=A，

则：

■■=■■=A

证：在[x，+∞）（x>N）上应用定理2，有：

■=■

即：

■=■ ， ξ∈[x，+∞）

当令x→+∞时，也有ξ→+∞，故得：

■■=■■=■■=A

（ii）■型不定式极限

定理4.若函数f和g满足

（1）存在N>0，使得当x>N时，f（x），g（x）都可导，且g"（x）≠0，

（2）■g（x）=∞，

（3）■■=A，

则：

■■=■■=A

证：由（3），对任意正数ε，存在x1>N，对满足x>x1的每一个x，有

A-ε<■

由条件（1）、（2），f，g在[x1，x]上满足柯西中值定理，故存在ξ∈[x1，x]，使得：

A-ε<（■-■）（■）=■-■=■

因为■■=1，所以由保号性，存在正数x2，使得当x>x1时有：

■>0

结合（2）式可得：

（1-■）（A-ε）+■<■<（1-■）（A+ε）+■

又因为■g（x）=∞，所以

■（1-■）（A-ε）+■=A-ε

■（1-■）（A+ε）+■=A+ε

再由保号性得知：存在正数x3，当x∈（x3，+∞）时有：

A-2ε<■

这样就证明了：

■■=A

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）[M].北京：高等教育出版社，2010：276-278.

[2]杨万必，龙鸣.微分中值定理的推广[J].湖北民族学院学报：自然科学版，2005，23（1）.

[3]张晓彦，刁光成.微分中值定理的推广[J].才智，2009.

[责任编辑：刘展]