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【摘 要】重积分计算是高等数学教学中的重要内容，如何计算重积分显得尤其重要。重积分计算主要思想是如何把重积分化为累次积分，如何决定积分次序。由于有些积分的被积函数和积分区域比较复杂，计算起来比较困难，甚至有些重积分无法计算。然而MATLAB软件在高等数学重积分计算中有很大的优势，通过MATLAB软件求解重积分不仅可以提高学生学习的积极性，而且可以提高学生学习的兴趣和效率。本文研究的主要内容是如何运用MATLAB内部函数计算二重积分。
【关键词】MATLAB 二重积分 高等数学
【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）27-0057-02
随着科学技术及计算机的飞速发展，各类数学软件的不断涌现，这使在解决一些复杂的问题变得非常简单。MATLAB已成为许多课程的基本教学工具，是大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能；在设计研究单位和工业部门，MATLAB已成为必备的标准软件。MATLAB软件“面向对象”的特点愈加突出，数据类型愈加丰富，操作界面愈加完善，运算速度越来越快，功能越来越强大。MATLAB在高等数学教学中起着非常重要的作用。MATLAB具有简单易学、代码短小高效、计算功能强大以及可扩展性等优点。基于MATLAB的高等数学教学可以提高学生课堂的参与性，激发学生学习的兴趣，有利于教学质量的提高。MATLAB已经成为国际控制界公认的标准计算软件，国内已经有很多工科院校把MATLAB引入课堂，作为数学公共课教学改革的核心内容。本文主要研究如何利用int函数、dblquad函数和quad2d函数求高等数学中的二重积分。
一 符号表达式和函数表达式
MATLAB有强大的符号运算和数值计算功能，两者的根本区别是：符号计算需要定义符号表达式，而数值计算需要定义函数表达式。对于一般的程序设计软件实现数值计算还可以，但是实现符号计算并不是一件容易的事。MATLAB的数学工具箱可以完成几乎所有的符号运算和数值计算功能，MATLAB可以用syms函数和单引号产生符号表达式，同时也可以利用M-函数文件、内联函数和匿名函数得到函数表达式。
例1：定义多变量符号表达式f=x2siny
syms函数调用格式：syms xy；f=x^2*sin（y）
单引号调用格式：f="x^2*sin（y）"
例2，定义多变量函数表达式fun=x2*sin（y）
方法一：M函数文件方法
编写M文件：function fun=f（x，y）
fun=x^2*sin（y）
方法二：inline函数方法
fun=inline（" x.^2.*sin（y）"）
方法三：匿名函数方法
fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）
二 二重积分的计算方法
MATLAB提供了两种方法计算二重积分即符号计算和数值计算。符号计算是求矩形区域上的二重积分，利用MATLAB内部命令int计算两次一重积分，调用格式为int（int（f，A，B），C，D），其中f是符号表达式，变量的取值范围是A≤x≤B，C≤y≤D。符号计算的结果往往是符号，如果要求其值，需调用函数vpa（I，n），得到具有n位有效数字I的近似值。数值计算可以调用MATLAB内部函数dblquad函数和quad2d函数。dblquad函数是求矩形区域上二重积分的数值估计，调用格式为dblquad（fun，A，B，C，D），其中fun是函数表达式，变量的取值范围是A≤x≤B，C≤y≤D。quad2d函数求平面区域上二重积分的数值估计，调用格式为quad2d（fun，A，B，C，D），其中fun是函数表达式，变量的取值范围是A≤x≤B，C（x）≤y≤D（x）。
例1，求二重积分 ，其中区域Ω
是有直线x=0，x=1，y=1，y=2围成的区域。
根据区域Ω的特点即可以看成X型区域也可以看成Y型区域，采用X型区域把二重积分化为二次积分得：
运用MATLAB软件求解二次积分方法如下：
方法一：调用MATLAB符号计算命令int
>>syms x y；>> f=x^2*sin（y）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；
>> I=cos（1）/3-cos（2）/3；>>I=vpa（I，4）；>> I=0.3188；
方法二：调用MATLAB数值计算命令dblquad
>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）； >> I=dblquad（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；
方法三：调用MATLAB数值计算命令quad2d
>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>> I=quad2d（fun，0，1，1，2）；>> I=0.3188；
例2，求二重积分 ，其中区域Ω是
有抛物线y=x2和x=y2围成的区域。
根据区域Ω的特点把二重积分化为二次积分得：I=
，此积分区域为平面区域调用quad2d
函数如下：
>> fun=@（x，y）x.^2.*sin（y）；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；
>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0492；
由于区域Ω是平面区域，对y的积分是变限积分，因此不能直接调用dblquad函数。但是可以通过变量替换转化为矩形区域上的积分。
令z=（y-C（x））/（D（x）-C（x）），则y=（D
（x）-C（x））z+C（x），二重积分可以转化为I=
。通过此变换把
平面上的二重积分化为矩形区域上的二重积分，因此可以调用int命令和dblquad命令。然而对于符号计算命令int求解积分时，要求被积函数具有显式的原函数，但是此时的被积分函数没有显式的原函数，因此只能调用MATLAB数值计算命令dblquad：
>> fun=@（x，z）x.^2.*sin（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；
>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；>> I=0.0492；
例3，求二重积分 ，其中区域Ω是有
抛物线y=x2和x=y2围成的区域。
根据区域Ω的特点把二重积分化为二次积分得：
，调用平面区域求积分命令quad2d得：
>> fun=@（x，y）x.^2.*y；>>C=@（x）x.^2；D=@（x）sqrt（x）；
>> I=quad2d（fun，0，1，C，D）；>> I=0.0536；
根据例2中的变换方法把对y的变限积分也化为定积分，则积分可化为： 。这时二次积分的积分区域是矩形区域，并且此时的被积函数具有显示的原函数，因此可以调用int命令和dblquad命令。
方法一：调用MATLAB符号计算命令int
>> syms x y >> f=x^2*sin（（sqrt（x）-x^2）*z+x^2）*（sqrt（x）-x^2）；>> I=int（int（f，0，1），1，2）；
>> I=3/56；>> vpa（I，3）；>> I=0.0536；
方法二：调用MATLAB数值计算命令dblquad
>> fun=@（x，z）x.^2.*（（sqrt（x）-x.^2）.*z+x.^2）.*（sqrt（x）-x.^2）；>> I=dblquad（fun，0，1，0，1）；
>> I=0.0536。
MATLAB在计算二重积分的时候可以运用符号运算和数值计算两种思路。这两种思路都可以解决二重积分问题但又各有优劣，符号计算因其需要被积函数的原函数，所以可以得到积分的精确值，然而这也是符号计算的劣势，因为很多的被积函数不存在显式的原函数；而数值计算不论被积函数有没有显式的原函数都可以计算积分，但是得到的是近似值而不是精确值。多重积分的数值计算在很多工程问题中都有很重要的应用，可以通过运用MATLAB内部命令解决工程中的实际问题，提高学生的动手能力和解决实际问题的能力，为学生以后的工作积累实践经验。
三 结束语
高等数学把基于MATLAB的数学实验课引入课堂，提高了学生学习的积极性和学习兴趣，改变了传统的教学方法，增强了应用数学知识解决实际问题的能力，提高了学习效率，有利于提高教学质量。结合高等数学教学过程遇到的二重积分计算，通过几个例子给出二重积分的计算方法。本文着重分析了MATLAB求二重积分的符号计算和数值计算两种思路的相似和不同之处，以及如何运用MATLAB内部函数实现复杂的积分计算。
参考文献
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[2]王正林、刘明.精通MATLAB 7[M].北京：电子工业出版社，2006
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[4]薛定宇、陈阳泉.高等数学应用问题的MATLAB求解[M].北京：清华大学出版社，2004
[5]柯善军.高等数学与应用实验[M].北京：北京航空航天大学出版社，2007
〔责任编辑：林劲〕
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