函数定义域教学

数学思维品质反映了个体间数学思维发展水平的差异，是衡量学生数学思维的优劣，判断学生数学能力高低的主要指标.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.在函数的内容中，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中若不加以注意，常常会使人误入歧途.因此在函数教学中应强调以下几个方面的问题.

第一，函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的.

【例1】 某单位计划建一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为1000m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式.

解析：设矩形的长为x米，则宽为(500－x)米，由题意得：S＝x(500-x).

故函数关系式为：S＝x(500-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围.因为当自变量取负数或不小于500的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即，函数关系式为：S=x(500-x)（0

因此在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若学生考虑不到这一点，则表明他们的思维缺乏严密性.

第二，函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致所求出的最值是错误的.

【例2】 求函数y=2x2-4x-3在［－2，5］上的最值．

解析：∵y=2x2-4x-3=2(x2-2x+1)-5=2(x-1)2-5，

∴当x=1时，ymin=-5.

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于只是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.其实以上结论只是对

二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间［m,n］上，它的最值应分不同情况予以讨论.

故本题还应补充以下内容：

f(5)=2•52-4•5-3=27.

∵-2≤1≤5，

∴f(-2)=2(-2)2-4×（-2）-3＝13.

∴f(x)max=max{f（-2),f(5)}=f(5)=27.

∴函数y=x2-2x-3在［－2，5］上的最小值是－5，最大值是27．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便能迅速解题.

第三，函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.

【例3】 求函数y=4x-5+2x-3的值域．

错解：令ｔ=2x-3,则2x=t2+3，

∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+14)2+78≥78，

故所求函数的值域是［78,+∞)．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在［0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．故所求的函数值域是［1,+∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便说明他们具有良好的思维批判性.

第四，函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

【例4】 指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间．

解析：先求定义域：∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2.

∴函数定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞)．令u=x2+2x，知当x∈(-∞,-2)上时，u为减函数；当x∈(0,+∞)时，u为增函数.又∵f(x)=log2u在［0,+∞)上是增函数，

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数.

即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间为(0,+∞)，单调递减区间是(-∞,-2).

如果学生在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明他们对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而没有真正领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性.

第五，判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可言.否则就用奇偶性定义加以判断即可.

【例5】 判断函数y=x3（x∈［-1,3］）的奇偶性．

解析：∵2∈［-1,3］，而-2［-1,3］，

∴定义域区间［-1,3］关于坐标原点不对称.

∴函数y=x3（x∈［-1,3］）是非奇非偶函数.如果不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性时很有可能得出如下错误结论：

∵f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，

∴函数y=x3,x∈［-1,3］是奇函数．

剖析：错误的原因是在没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下就直接加以判断，这是学生极易忽视的步骤，应在教学过程中反复强调.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能培养学生检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，从而不断提高学生思维能力，进而有利于学生思维创造性的发展.

参考文献

［1］王亚辉.数学思维及其两种基本成分［J］.南昌职业技术师范学院学报，1996（2）.

［2］邵光华.数学思维能力结构的定性分析［J］.数学通报，1994（10）.

［3］王岩.启迪思维是数学教学的灵魂［J］.淮海工学院学报，2001（6）.

［4］徐利治.组合数学的发展趋势及关于发展研究的建议［J］.吉林师范大学学报，1994（3）.

（责任编辑 金 铃）

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