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【摘 要】讨论非线性系统关于奇异二次型性能指标最优控制问题的近似方法。基于李代数生成向量矩阵的方法，将非线性系统变换为线性非奇异系统，进而利用参数摄动方法通过求解非奇异二次指标最优控制问题的解得到原系统的最优控制律。
【关键词】李代数法 摄动法 最优控制 奇异二次指标 最优控制
最优控制理论对于与控制系统提供了解决的多类现代方法，因此它在线性控制理论中扮演着重要的角色例如，线性二次调节器和现行二次型高斯控制理论。利用最优控制的一类线性系统可以大幅度减少最优控制率的计算幅度。此外，它构成了一个解决非线性最优控制问题的有效方法，其中，李代数法已经被应用于获取非线性偏微分方程的最优反馈率。此外，它构成了一个有效解决非线性最优控制问题的方法。应用这种方法可以计算最优飞船了角动量，以及可以计算太空交通工具最小的燃料消耗。李代数法已成为最优控制理论的一个重要的数学工具[1]。
1问题描述
考虑一类非线性系统：
这里，为标量，其中
性能指标为：
和给定，为维正定对称矩，系统的矢量场，，平滑。
我们的问题是找到满足条件（1）和（2）的使得性能指标最小。
众所周知，我们缺乏进一步的假设，这类问题通常通过最优控制中的邦-邦控制来解决。
通过非线性系统（1）我们可以定义李代数，从而生成向量场。
即是的集合，这里我们可以定义：
这里我们定义为
系统（1）的复杂结构通过构建代数的方法可以解决此类最优控制问题。解决此类困难的第一步是寻找一类简单系统来近似替代系统（1）。和指出，在某些非限定条件下，一种系统仿射的形成，都可以通过构造一个零阶的局部近似的状态方程与之相同。
2最优控制问题
为了解决第二节中的奇异控制问题，我们给（3）式中添加了一项
极小化了这个非奇异的泛函部分，对于当时可以求出（3）式的最优值。此时我们定义
此时很明显我们将最优控制问题（1）转化成为非奇异控制问题，通过极小值原理我们可以找到它的函数：
上式中是维的伴随矩阵。
3解题方法及步骤
为了解决第三节问题（6）的最优控制问题我们采取的步骤：
步骤1：选取一个初始值和一个控制函数。
步骤2：解决-问题（初始值为1），并产生一个极小的控制函数。
步骤3：令（例如）.设 回到步骤2。
当通过步骤2得到（为无穷小量）时停止运算，否则重复上述步骤。我们可以通过证明以下两种假设来证明我们的方法正确。
假设1：定义（2）式中的为一集合，为一标量控制（）且。则
因此，我们得到矛盾并且（30）式一定正确。
然而，我们必须承认这是一个通过使无穷小从而逼近近似解得好方法，但是我们仍旧无法从确定它的精确数值。
4结语
我们考虑了一类非线性奇异最优控制系统。我们通过加入无穷小量来使奇异最优控制转化成为非奇异最优控制。其中（25）式中构建最优控制方程成为最重要的步骤。它在解决开环最优控制的问题上起到了至关重要的作用。
参考文献：
[1]胡寿松，胡维礼.最优控制理论与系统[M].北京：科学出版社，2005.
[2]冯德兴.奇异最优控制的渐进分析.自动化学报 第20卷第5期，1994年9月.
[3]杜振华，石明江，田芳.线性系统的奇异最优控制方法研究.制造业自动化（610500）.
[4] Daim-Yuang Sun，The solution of singular optimal control problems using the modified line-up competition algorithm with region-relaxing strategy，ISA Transactions 49（2010）106-1113.
[5]MARK ARDEMA Nolinear Singularly Perturbed Optimal Control Problem with Singular Arcs，Automatic.Vol.16，pp.99-104.
[6]Ton Geerts，All Optimal Controls for the Singular Linear-Quadratic Problem Without Stability，Elsebier Science Publishing Co，Inc，1989.
[7] R.E.奥马利.《奇异摄动引论》.科学出版社，1993.
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