光学系统像差的剪切干涉图样仿真

摘要： 针对光学系统像差的判定问题，提出从理论上对各种像差的剪切干涉图样进行仿真分析。此分析依据波像差理论，结合剪切干涉在像差测量中的应用，建立波像差与干涉条纹的联系，采用计算机仿真手段对光学系统各种像差的典型剪切干涉图样进行了模拟，包括初级像差和二级像差。仿真结果表明，各种初级像差和二级像差均有其各自的典型剪切干涉图样，根据特征图样可以直接判定主要的像差种类。研究所得出的各种像差典型干涉图可为判断光学系统存在哪种像差提供参考与依据。

关键词： 几何光学； 初级像差； 二级像差； 干涉图样； 仿真

中图分类号： O 435.2文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.1005

引言像差是光学系统中由透镜材料的特性或折射（或反射）表面的几何形状引起实际像与理想像的偏差。像差的存在，影响了光学系统成像的清晰度、相似性和色彩逼近等，降低了成像质量[1]。因此，在涉及到光学元件、光学系统的很多具体工作中都需要对像差进行测量判定，例如：光学系统的计算机辅助装调工作，需要对待调光学系统的像差进行实时检测[2]；光刻技术中，由于对光刻透镜的成像要求很高，也需要对成像透镜的像差进行检测[3]。在像差测量中，除了几何像差的测量之外，对波像差进行测量以评定光学系统成像质量是一种更好的方法[4]。而由于剪切干涉法反映“波像差”信息全面，易于目视估值，使用方便，因此，对各种像差的典型剪切干涉图进行仿真，将对判断被测系统具有哪些像差是有益的。像差典型干涉图的仿真多数是对初级像差进行的[5]，这对于普通光学系统来说，用初级像差描述其成像质量确已足够，但是对于需要接近甚至超过衍射极限的高性能光学系统来说，还必须考虑其高级像差的影响[68]。因此，需充分考虑初级像差和二级像差，给出更为完整的像差典型干涉图样仿真。1波像差函数的一般表达式波像差初级像差和二级像差的函数表达式为[9]：W（x，y）=a10（x2+y2）+a20（x2+y2）2+a30（x2+y2）3+a01x+a11x（x2+y2）+

a21x（x2+y2）2+a02x2+a12x2（x2+y2）+a03x3（1）其中，x和y为入射光线与入射光瞳平面交点的坐标；a10（x2+y2）为轴向离焦、初级场曲、二级场曲的波像差之和；a20（x2+y2）2为初级球差、视场引起轴对称二级球差所产生的波像差之和；a30（x2+y2）3为孔径二级球差所产生的波像差；a01x为垂轴离焦量、初级畸变、二级畸变所产生的波像差之和；a11x（x2+y2）为初级彗差、视场引起二级彗差所产生的波像差之和；a21x（x2+y2）2为孔径引起的二级彗差所产生的波像差；a02x2为初级像散与二级像散所产生的波像差之和；a12x2（x2+y2）为视场引起非轴对称二级球差所产生的波像差；a03x3为视场引起二级子午彗差所产生的波像差。图1横向剪切干涉仪

Fig.1Lateral shearing interferometer2横向剪切干涉条纹横向剪切干涉利用被测波面自身实现干涉，如图1所示平行光横向剪切干涉仪，无需参考波，受环境影响小，因此应用广泛[10]。根据光干涉理论，及横向剪切干涉两干涉波振幅相等的特性，可得横向剪切干涉条纹图光强分布表达式为：光学仪器第35卷

第1期李莉，等：光学系统像差的剪切干涉图样仿真

I（x，y）=2A2（x，y）1+cosΔφ（x，y）（2）其中A为两相干光的振幅，Δφ（x，y）为相位差。而相位差Δφ（x，y）与光程差ΔW（x，y）有一定关系：Δφ（x，y）=2πλ·ΔW（x，y）（3）当剪切量足够小时（例如取为2 mm）有：ΔW=W（x，y）x·S=Pλ（4）其中，W（x，y）为被检波面（如式（1）所列），P表示干涉级次，λ表示光波波长，λ取值为632 nm。根据以上分析，可以通过包含不同像差的波面函数得到对应的横向剪切干涉条纹图。3各种像差的典型剪切干涉图样仿真及分析

3.1球差

3.1.1初级球差或视场引起的轴对称二级球差当系统存在的像差为初级球差或视场引起的轴对称二级球差或两者都有时，a20≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a20（x2+y2）2（5）光程差为：ΔWx=4a20x（x2+y2）S=Px λ

ΔWy=4a20y（x2+y2）S=Py λ （6）取a20=80λ时，得到x方向和y方向的剪切干涉图分别如图2（a）、图2（b）所示。从图2可以看出，x方向和y方向的干涉条纹图是正交的完全相同的图样，说明了此时球差的轴对称性，另外，从光程差表达式也可以得出此时初级球差所对应的干涉条纹是一组与a20有关的三次曲线。当系统同时存在离焦时，则a20≠0且a10≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a20（x2+y2）2+a10（x2+y2）（7）光程差为：ΔWx=4a20x（x2+y2）S+2a10xS=Px λ

ΔWy=4a20y（x2+y2）S+2a10yS=Py λ （8）取a20=80λ且a10=800λ和a10=-800λ时，所对应的x方向剪切干涉图分别如图3（a）、图3（b）所示。

图2a20=80λ时剪切干涉图

Fig.2Shearing interferogram of

a20=80λ图3同时有离焦存在时的x方向剪切干涉图

Fig.3Shearing interferogram in x with

a20=80λ and a10≠0

从图3可以看出，当出现离焦项时，干涉条纹形状发生了较大的变化。

3.1.2孔径二级球差当系统存在的像差为孔径二级球差时，a30≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a30（x2+y2）3（9）光程差为：ΔWx=6a30x（x2+y2）2S=Px λ

ΔWy=6a30y（x2+y2）2S=Py λ（10）取a30=24λ得到x方向和y方向的剪切干涉图分别如图4（a）、图4（b）所示，取a30=80λ得到x方向和y方向的剪切干涉图分别如图4（c）、图4（d）所示。

图4a30≠0时剪切干涉图

Fig.4Shearing interferogram of a30≠0

对比图4和图2可以发现，两种情况下干涉条纹图变化趋势非常相似，但对于孔径二级球差来说，像面边缘处条纹更为细密，尤其是当孔径二级球差增大时，如图4（a）、图4（b）与图4（c）、图4（d）的对比，像面边缘条纹更加密集，可以据此来区分初级球差和孔径二级球差。

3.1.3非轴对称二级像差所引起的球差当系统存在的球差为非轴对称二级像差所引起时，a12≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a12x2（x2+y2）（11）光程差为：ΔWx=2a12（2x3+xy2）S=Px λ

ΔWy=2x2y=Py λ（12）取a12=200λ时，得到的x、y方向的干涉图如图5（a）、图5（b）所示。从图5可以看出，对于x方向的干涉图，其变化趋势与上述两种球差所引起的干涉图样变化趋势相似，但对于非轴对称二级像差所引起的球差，由于其非轴对称性，在x方向和y方向上引起的干涉图样是完全不同的。由此，可将非轴对称二级像差所引起的球差分辨出来。

3.2彗差

3.2.1初级彗差或视场引起的二级彗差当系统存在的像差为初级彗差或视场引起的二级彗差或两者都有时，a11≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a11x（x2+y2）（13）光程差为：ΔWx=a11（3x2+y2）S=Px λ

ΔWy=2a11xyS=Py λ （14）取a11=300λ时，得到的x、y方向的干涉图如图6（a）、图6（b）所示。

图5a12=200λ时剪切干涉图

Fig.5Shearing interferogram of a12=200λ图6a11=300λ时剪切干涉图

Fig.6Shearing interferogram of a11=300λ

从图6可以看出，由于初级彗差或视场引起的二级彗差的非对称性，x、y两个方向上的干涉图样完全不同，并且根据光程差表达式可以得出x方向上的剪切干涉条纹为椭圆形的圆环，y方向上的剪切干涉条纹为双曲线。当系统同时存在离焦时，则a11≠0，a10≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a11x（x2+y2）+a10（x2+y2）（15）光程差为：ΔWx=a11（3x2+y2）S+2a10xS=Px λ

ΔWy=2a11xyS+2a10yS=Py λ （16）当a11=300λ，且a10=300λ时，所对应的x、y两个方向上干涉图分别如图7（a）、图7（b）所示，当取a11=300λ，且a10=-300λ时，所对应的x、y两个方向上干涉图分别如图7（c）、图7（d）所示。从图7可以看出，存在离焦时，对干涉图样的形状无影响，但会使干涉图偏移，表现出不对称性，且当a10相等时，在焦内和焦外表现为图形偏移量相同，偏移方向相反。

图7同时有离焦存在时的剪切干涉图

Fig.7Shearing interferogram of a11=300λ and a10≠0

3.2.2孔径引起的二级彗差当系统存在的像差为孔径引起的二级彗差时，a21≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a21x（x2+y2）2（17）光程差为：ΔWx=a21（5x4+6x2y2+y4）S=Px λ

ΔWy=4a21（xy3+x3y）S=Py λ（18）取a21=100λ时，得到的x、y方向的干涉图如图8（a）、图8（b）所示。对比图8和图6可以看出，x、y方向的干涉图样变化趋势非常相似，但孔径引起的二级彗差所对应的干涉图样在像面边缘条纹更加细密，并且在45°和-45°方向的一定范围内，曲线斜率近似为-1和1，即在这些范围内，曲线近似为直线，由此可以区分孔径引起的二级彗差和初级彗差。

3.2.3视场引起的二级子午彗差当系统存在的像差为视场引起的二级子午彗差时，a03≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a03x3（19）光程差为：ΔWx=3a03x2S=Px λ

ΔWy=0=Py λ（20）取a03=300λ时，得到的x、y方向的干涉图如图9（a）、图9（b）所示。

图8a21=100λ时剪切干涉图

Fig.8Shearing interferogram of a21=100λ图9a03=300λ时的剪切干涉图

Fig.9Shearing interferogram of a03=300λ

从图9中可以看出，x方向上的干涉条纹为垂直于x轴的不等距的直条纹，y方向上视场内无干涉条纹，为一片亮场。

3.3像散当系统存在的像差为初级像散或二级像散或几项之和时，a02≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a02x2（21）光程差为：ΔWx=2a02xS=Px λ

ΔWy=0=Py λ（22）取a02=300λ时，得到的x、y方向的干涉图如图10（a）、图10（b）所示。从图10可以看出，存在像散时x方向上的干涉条纹为垂直于x轴的等距直条纹，y方向上视场内无干涉条纹，为一片亮场。当系统同时存在离焦时，则a02≠0，a10≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a02x2+a10（x2+y2）（23）光程差为：ΔWx=2a02xS+2a10xS=Px λ

ΔWy=2a10yS=Py λ （24）取a02=300λ，且a10=300λ时，所对应的x、y方向的干涉图分别如图11（a）、图11（b）所示。图10a02=300λ时的剪切干涉图

Fig.10Shearing interferogram of

a02=300λ图11同时有离焦项存在时的剪切干涉图

Fig.11Shearing interferogram of

a02=300λ and a10=300λ

从图11可以看出，当同时存在离焦时，x方向上的干涉条纹仍然为垂直于x轴的等距直条纹，y方向上视场内不再为一片亮场，而是出现了垂直于y轴的等距直条纹，但两个方向上的条纹间距不同。

3.4场曲当系统存在的像差为初级场曲或二级场曲的一种或多种时，a10≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a10（x2+y2）（25）光程差为：ΔWx=2a10xS=Px λ

ΔWy=2a10yS=Py λ （26）图12a10=300λ时的剪切干涉图

Fig.12Shearing interferogram of a10=300λ取a10=300λ时，得到的x、y方向的干涉图如图12（a）、图12（b）所示。从图12可以看出，x方向上的干涉条纹为垂直于x轴的等距的直条纹，y方向上的干涉条纹为垂直于y轴的等距的直条纹，且两方向上的条纹间距相等。

3.5畸变当系统存在的像差为垂轴离焦、初级畸变、二级畸变中的一种或多种时，a01≠0，波像差表达式为：W（x，y）=a01x（27）光程差为：（下转

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