摘要： 本文依据2002“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛A题提供的资料，对车灯线光源的优化设计进行后续研究。按照设计规范要求设计，以车灯线光源功率最小为优化目标，将线光源分为若干点光源，通过车灯罩内壁反射点设计，运用微元法对线光源的长度进行讨论，并进行相应数值分析、检验，构建车灯优化设计数学模型。
Abstract： Based on the question A of National Students Mathematical Modeling Contest of 2002 "Higher Education"s Cup"， this paper made follow-up study on optimal design of line light source of the car light. In accordance with design specifications， taking minimum power of line light source of the car light as optimization goal， the line light source of the car light was divided into a number of point light sources， and this paper carried out discussion on the length of line light source using micro-element method， by design of the reflection point of car lampshade inner wall， and carried out corresponding value analysis and testing to build mathematical model of optimum design of the car light.
关键词： 线光源；微元法；优化设计；数学模型
Key words： linear light source；micro-element method；optimal design；mathematical model
中图分类号：G40 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）11-0219-03
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作者简介：马廷强（1978-），男，苗族，云南威信人，讲师，理学硕士，研究方向为奇点理论。
1 问题重述
有一形状为旋转抛物面的车灯罩，其对称轴水平地指向正前方，知道其开口半径以及深度，过车灯焦点，在于对称轴水平方向对称地放置一定长度的均匀分别的线光源，在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直在屏上AC=2AB=2.6，要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为一个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射），在这样的条件下，计算使线光源功率最小的光源长度，并根据所求的长度画出测试屏上反射光亮区并讨论此设计规范的合理性。
2 模型假设
光学是物理学的一部分，现代物理学表明，光是一定频率范围内的电磁波。以光的波动理论为基础，形成了波动光学，另一方面，以光的粒子性为基础，又形成了量子光学，波动光学与量子光学都涉及光的本性，她讨论光的干涉，衍射，偏振等现象。在本文中，我们仅考虑光的几何性质，不考虑光的物理性质，其基本假设是：
2.1 光在空气中沿直线传播光的独立传播定理，当光在传播途中相遇时，各光线仍按自己的途径传播，互不影响，在交会点，其作用是简单地相加；
2.2 折射定律和反射定律，光线传播之两种均匀介质光滑分界面时，发生折射和反射。我们假定所考虑的旋转抛物面为镜面即入射光线位于光密介质内，且入射角大于临界角，光线全部不反射出来而不发生折射，即全反射；
2.3 部分光线在抛物面内会发生多次反射的情况，为模型简单起见，我们仅考虑一次反射；
2.4 假设光在推广抛物面反射到达测试屏的过程，不会损失能量；
2.5 测试屏上的亮区仅考虑其经过抛物面反射的光；
2.6 假设光源是功率均匀分布的线光源。因此在问题所要求的设计规范的条件下，就是使线光源的长度最短。
3 模型建立
取异空间直角坐标系，X轴为所考虑的旋转抛物面的对称轴，焦点为坐标原点，焦急为P/2。那么该旋转抛物面的方程为：Y2+Z2=2P（X+P）
根据提意，设线光源是以坐标原点F为中心在Y轴上的一线段MN，其长度为2L，即M（0，-L，0），N（0，l，0）。
假设K（0，y，0）是线光源MN上的一点，由该点出发的一束光线与抛物面相交于T（X0，Y0，Z0）点，抛物面在T点的法线为TH，反射光线为TQ，由经典的光的反射定律知：
定理1 KT，KH，TQ三线共面，且法线TK平分入射光KT与发射光TQ所构成的角。
特别地，如果K=F，即K点取为焦点，那么有：
推理1 从焦点发出的光线经旋转抛物面反射后，其反射光线均平行于对称轴（X轴）。
根据以上结论，容易求出入射光KT的反射光TQ所在直线方程。
首先，由抛物面方程（1）知，点T的法线方向向量为：■1■=（-1，■，■），入射线KT的方向向量为：■■=（-x0，y-y0，
-z0），取反射光TQ的方向向量为单位向量，不妨假设为：
■3=（s1，s2，s3），那么，根据定理1三线共面，从而混合积为：（■■×■■）.■■=0
即（■■×■■）.■■=■=0（1）
从而：■y+z0（1+■）s2+（y-y0-x0■）s3=0（2）
另一方面，由定理1， cos 由COS ■=■x0+（y0-y）s2+z0s3 即：x0-■（y0-y）-■+■x0■+（y0-y）■.s2+z0■.s3=0（3） 记：■■=■，由方程（2），（3）可解得： s1=■（4） s2=■（5） s3= ■ （6） 根据题意，测试批屏障与FA垂直，在屏上引出一条直线AC与地面平行，由立体几何知识知道AC上的任意一点E的坐标为（h，m，0），以下我们考虑反射光TQ通过E点所需满足的条件。 首先，反射光TQ所在直线方程为：x=x■+■ty=y■+s■tz=z■+s■t，其中t为参数，从而，TQ经过E点当且仅当： 2（h-x0）=■=■ 即：2（h-x■）s■=m-y■2（h-x■）s■=-z■ 将（4），（5），（6）式代入，并由（x0 y0 z0）=T在抛物面上，可得： 2（h-x■）■=m-y■ （7）2（h-x■）■=-z■（8）y■+z■=2px■+p■ （9） 上式在点E取定的情况下，当发光点（0，y，0）=k在线光源MN上化时，即以-L？燮y？燮L作为变量时，可以看出上式（7），（8），（9）是以Y为参数，在抛物面上的一段曲线LE的隐式参数方程.这段曲线LE的长度与E点的光强度成正比。 根据模型的设计要求，我们不妨将E点的光强度QE定义为曲线段LE的长度.假定从方程（7），（8），（9）解出LE的显式参数方程如下：x■=φ（■）y■=ψ（■）z■=θ（■） 那么，E点的光强度QE可表述为： Q∶E=L■=■■dy■（10） 由优化设计的要求可知，在该设计规范下，当时L的■？叟2最小值，线光源的功率最小。 在得到L的最小之后，当E点在AC上变化时，我们在有标尺的坐标系上划出QE的变化规律；最后讨论该设计规范的合理性。 4 模型求解 显然方程（7），（8），（9）不可能直接解出，最后从方程（10）求得E点的光强度的精确值.那么我们解决该问题的办法是求出方程（10）的数值解，在步长足够小的情况下，所得到的数值解应该是比较精确的。 由于AC=2AB=2.6米，测试屏在焦点的正前方25米处，故取h=25000（mm），又因AC=2AB=2.6米，故可假设C点的坐标为C=（25000，2600，0），B=（25000，1300，0）.如前所述，为了使得有足够的精度（对绝对误差我们将在下一节作估算）。 由开口半径=36mm以及深度21.6mm可计算出p=0.03m=30mm，从而抛物面的方程（1）可具体地写为： y2+z2=60X+900（11） 在抛物面，我们取步长为1，易知-18？燮Z？燮18，-18？燮Y？燮18.-15？燮x？燮6.6，由方程（11）易知L的取值范围是：-30L30；于是我们取L的步长为1，初值为-30；根据对称性，对于m的取值，我们计算0？燮m？燮2600，即0？燮k1？燮26000，而-260000？燮k1？燮0，的情况与0？燮k1？燮2600对称，m的取值为m=0.1k1。按照公式（10）计算E=（2500，m，0）点的光强度QE，计算方法如下： 由于线光源的长度2L不同，会影响QE的取值，为此我们将QE记为Q（k1，k2），其中k1确定m的取值：m=0.1K1，K2确定L的取值：-k2？燮L？燮k2其中0？燮k2？燮30. 确定K2后，我们在-k2？燮L？燮k2，以k3=1mm为步长考虑每个发光点 （0，y，0）=（0，k3，O）发出的光线能反射到E点与抛物面相交的点TKS而Q（k1，k2）我们用依次相连相邻的的折线段的长度来代替。 参考文献： [1]梁铨廷.物理光学[M].北京：电子工业出版社，2008.4. [2]杨葮荪.光学原理[M].北京：电子工业出版社，2009.10. [3]丘维声，解析几何[M]，北京，北京大学出版社，1996.10. [4]梅向明，微分几何[M]，高教出版社，1988.2. [5]同济大学数学系，微积分[M].高教出版社，2009.6. [6]全国大学生数学建模竞赛网http：//.cn/qkpdf/jjgc/jjgc201311/jjgc201311114-1.pdf" style="color:red" target="_blank">原版全文 相关热词搜索：
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