中考数学二次函数经典易错题解析

篇一：2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析

2019年中考数学压轴题二次函数--抛物线经典赏析

1．

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按

1

照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y??x2?bx?c表示，且抛物线上的

617

点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。

2

（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双

向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果

灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 2．

已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与

14

x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0，－1)，连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜－1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；

（2）①若D（－4，m）为抛物线y＝x2＋bx＋c上一定点，点D到直线l的

距离记为d，当d＝DO时，求t的值；

②若为抛物线y＝x2＋bx＋c上一动点，点D到①中的直线l的距离与

14

14

OD的长是否恒相等，说明理由；

（3）如图2，若E,F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点

为M，求点M纵坐标的最小值．

图1 图2

3.如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长

有最大值？若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

4.如图17，抛物线F：y?ax2?bx?c(a?0)与y轴相交于点C，直线L1经过点C且平行于x轴，将L1向上平移t个单位得到直线L2，设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC （1）当a?

13

，b??，c?1，t?2时，探究△ABC的形状，并说明理由；

22

（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；

（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

答案

1，解：（1）由题知点B(0,4),C(3,

17

)在抛物线上 2

?c?4

?b?212?

y??x?2x?4所以?17，解得，所以?1

6c?4???9?3b?c??6?2

b

?6时，y最大?10所以，当x??2a1

答：y??x2?2x?4，拱顶D到地面OA的距离为10米

6

（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））

22

当x?2(或x?10)时，y?＞6，所以可以通过

31

（3）令y?8，即?x2?2x?4?8，可得x2?12x?24?0，解得

6

x1?6?23,x2?6?2

x1?x2?4答：两排灯的水平距离最小是43 2．解(1) ∵AO=2CO C(0-1) ∴OA=2A(-2,0)

将点A、C代入抛物线解析式得:

1

y?x2?1

4

(2)①由抛物线得D(-4,3) ∴OA=5 又∵d=DO ∴t=-2

1

②设D(a,a2?1)

41111

0D2?a2?(a2?1)2?a2?a4?a2?1?(a2?1)2

41624

11

点D到直线l的距离: a2?1?2?a2?1

44

∴d=DO

(3)作EI⊥直线l于点I,FH⊥直线l于点H 设E(x1,y1),F(x2,y2) 则EI=y1+2,FH=y2+2 ∵M为EF中点 ∴M

纵坐标为

y1?y2(EI?2)?(FH?2)EI?FH

???2 222

由(2)②得EI=OE,FH=OF

∴

y1?y2EI?FHOE?OF

?? 222

当EF过点O时,OE+OF最小

EG?FHOE?OF

?2??2?2 ∴M纵坐标最小值为

22

篇二：【解析版】中考数学常考易错点：3.3.2《二次函数》(原创)

二次函数

易错清单

1. 二次函数与方程、不等式的联系.

【例1】 (2018·湖北孝感)抛物线y=ax+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: 2

①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

其中正确结论的个数为( ).

A. 1个

C. 3个 B. 2个 D. 4个

2【解析】 由抛物线与x轴有两个交点得到b-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称

轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,

22二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax+bx+c=2,所以说方程ax+bx+c-2=0有两个相等的

实数根.

【答案】 ∵ 抛物线与x轴有两个交点,

∴ b2-4ac>0,所以①错误.

∵ 顶点为D(-1,2),

∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.

∵ 抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,

∴ 抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间.

∴ 当x=1时,y<0.

∴ a+b+c<0,所以②正确.

∵ 抛物线的顶点为D(-1,2),

∴ a-b+c=2.

∵ 抛物线的对称轴为直线

∴ b=2a. =1,

∴ a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.

∵ 当x=-1时,二次函数有最大值为2,

即只有x=1时,ax+bx+c=2, 2

∴ 方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.

故选C.

【误区纠错】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图2

象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线

22-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当

b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.

2. 用二次函数解决实际问题.

【例2】 (2018·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过xmin时,A,B两组材料的温度分别为yA℃,yB℃,yA,yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,

象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.

(1)分别求yA,yB关于x的函数关系式;

(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?

(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大

? (部分图

【解析】 (1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;

(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;

篇三：中考二次函数经典题及解析

一、选择题

2、（2018年山东泰安第20题）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

X﹣1013

y﹣1353

下列结论：

（1）ac＜0；

（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．

（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；

（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．

其中正确的个数为（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；
又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；

∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；

∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．

故选B．

【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的

关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

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